Manyetizma ve Özel Görelilik

FİZİK, Genel, , , , ,

Manyetik kuvvetin, hızı sıfırdan farklı yüklü parçacıkların hissettiği bir kuvvet olduğu iyi bilinir. Bu duruma verilen klasik itirazı hatırlayalım.

Parçacık sabit hızla gidiyorsa, parçacığın bu referans sistemine göre hareketsiz olduğu bir eylemsiz referans sistemi vardır. O halde bu referans sisteminde parçacığa manyetik kuvvet etmez. Peki, manyetik kuvvetin bir referans sisteminde varken, diğerinde olmaması nasıl açıklanır? Fizik farklı referans sistemlerinde aynı değil midir?

Bu yazıda bu itirazı cevaplamaya çalışacağım. Hesap kitaba geçmeden hemen şunu söyleyebilirim. Eylemsiz referans sisteminde eğer yük bir manyetik kuvvet hissetmiyorsa, o halde başka bir kuvvet tecrübe etmelidir. Buysa,elektromanyetizma çerçevesinde olduğumuzu hatırlarsak, olsa olsa elektriksel kökene sahip bir alan olacaktır. Buna göre, manyetizma ve elektrik fenomenlerinin birbirinin ayrılmaz parçası olduğu söylenir. Daha ileri seviye kaynaklara bakılacak olursak, durumun gerçekten böyle olduğu görülür. Yani, elektrik ve manyetik alanlar birbirilerine belirli dönüşüm kurallarıyla bağlıdır.

Problem

Yatayda v_0 hızıyla hareket eden q yükünden b kadar uzakta hareketsiz yüklü iki tip (artı e eksi) parçacık katarı olsun. Eğer ardışık yükler arasındaki mesafeyi l_0 alırsak yük yoğunluğu \lambda_0=e/l_0 olur. Şimdi yüklerden pozitif olanları sağa, negatif olanları ise sola doğru u hızıyla hareket etsin. Buna göre parçacıklar arası mesafe, boy kısalması sebebiyle değişecektir.

l=\cfrac{l_0}{\sqrt{1-u^2/c^2}}.

Yükse hareketten etkilenmez. Bu durumda katarın taşıdığı akım I=2\lambda u olacaktır:

I=2\lambda u=\cfrac{2\lambda_0u}{\sqrt{1-u^2/c^2}}.

Bu akım altında, q parçacığına etki eden manyetik kuvvet F=q\mathbf{v}_0\times \mathbf{B} dan

F=qv_0\cfrac{\mu_0}{4\pi}\cfrac{4\lambda_0u}{b\sqrt{1-u^2/c^2}} \hspace{40px} (1)

olur. Şimdi, q yükünün hareketsiz olduğu K' referans sistemine geçelim. Şimdi, eğer yük hala bir kuvvet etki edecekse, bu manyetik bir kuvvet olamaz. Geriye tek bir kuvvet cinsi kalıyor, o da elektriksel kuvvet. O halde amacımız, hareketsiz sistemde ortaya çıkan elektriksel kuvveti bulmak. Öncelikle bu kuvvetin kaynağını tespit edelim. q nun hareketsiz olduğu bu yeni sistemde iki tarafa hareket eden yüklerin yeni hızlarını dikkate alırsak, göreli harekete göre (özel görelilik olmasa dahi) hızları farklı olacaktır. Pozitif olanı u_+', negatifinki de u_-' olsun. Bu, iki katardaki yükler arasındaki mesafenin farklı olması anlamına gelir. Yük miktarı değişmez bir nicelik olduğundan, sonuçta, iki katarın yük yoğunlukları farklı olacaktır. İşte, K' sisteminde q parçacığına etki edecek yük miktarı buradan kaynaklanır.

Bu adımda bir incelik dikkati çekmeli. Kuvvet, iki referans sisteminde bir değişmez nicelik değildir. Hareket yönü ve kuvvet birbirine dikken iki referans sistemi arasında kuvvetlerin dönüşümü aşağıdaki gibi olur:

\mathbf{F}=\cfrac{\mathbf{F'}\sqrt{1-v_0^2/c^2}+\mathbf{v}_0(\mathbf{F'}\cdot \mathbf{v'})/c^2}{1+\mathbf{v}_0\cdot \mathbf{v'}/c^2}

Bizim durumumuzda \mathbf{v'}=0 olduğundan, ikinci terim ve paydadaki ifade gider:

\mathbf{F}=\mathbf{F'}\sqrt{1-v_0^2/c^2} \hspace{40px} (2)

Şimdi, yük yoğunluklarının yeni halini yazalım:

\lambda_+=\cfrac{\lambda_0}{\sqrt{1-u_+'^2/c^2}} \hspace{30px} \lambda_-=-\cfrac{\lambda_0}{\sqrt{1-u_-'^2/c^2}}

Bu sefer de hızların dönüşümünü göz önüne alalım. Genel dönüşümlerden ziyade, hareket yönündeki izdüşümlerle ilgilenirsek,

u_x'=\cfrac{u_x-v_0}{\sqrt{1-u_xv_0/c^2}}

olur. Bunu iki katara da uygularsak,

u_+'=\cfrac{u-v_0}{\sqrt{1-uv_0/c^2}} \hspace{30px} u_-'=\cfrac{-u-v_0}{\sqrt{1+uv_0/c^2}}

elde ederiz. Bunların büyüklüklerini alalım, amacımız açısından yeterli olacaktır:

u_+'=\cfrac{|u-v_0|}{\sqrt{1-uv_0/c^2}} \hspace{30px} u_-'=\cfrac{u+v_0}{\sqrt{1+uv_0/c^2}}

Sıradaki adım, \lambda'=\lambda_+'+\lambda_-' toplam yük yoğunluğunu bulmak. Sonra da, sonsuz uzunluklu çubuğun elektrik alanını bulacağız. Ortalığı basitleştirmek için, boyutsuz niceliklere geçelim:

\beta_0=\cfrac{v_0}{c},\hspace{20px} \beta=\cfrac{u}{c},\hspace{20px} \beta_+'=\cfrac{u_+'}{c},\hspace{20px} \beta_-'=\cfrac{u_-'}{c}.

Bu kısaltmalarla birlikte

\lambda_+'=\cfrac{\lambda_0}{\sqrt{1-\beta_+'^2/c^2}} \hspace{30px} \lambda_-'=-\cfrac{\lambda_0}{\sqrt{1-\beta_-'^2/c^2}}

\beta_+'=\cfrac{|\beta-\beta_0|}{1-\beta\beta_0} \hspace{30px} \beta_-'=\cfrac{\beta+\beta_0}{1+\beta\beta_0}

O halde toplam yük yoğunluğu,

\lambda'=\lambda_+'+\lambda_-'=\cfrac{\lambda_0}{\sqrt{1-\beta_+'^2/c^2}}-\cfrac{\lambda_0}{\sqrt{1-\beta_-'^2/c^2}}

=\cfrac{\lambda_0}{\sqrt{1-\cfrac{1}{c^2}\left(\cfrac{\beta-\beta_0}{1-\beta\beta_0}\right)^2}}-\cfrac{\lambda_0}{\sqrt{1-\cfrac{1}{c^2}\left(\cfrac{\beta+\beta_0}{1+\beta\beta_0}\right)^2}}

Bu son ifade düzenlenirse,

\lambda'=-\cfrac{2\lambda_0\beta\beta_0}{\sqrt{(1-\beta_0^2)(1-\beta^2)}}=-\cfrac{2\lambda_0uv_0}{c^2\sqrt{(1-u^2/c^2)(1-v_0^2/c^2)}}

elde ederiz. Sona yaklaştık. Şimdi, \lambda' yük yoğunluğuna sahip sonsuz uzunluklu çubuğun elektrik alanını Gauss yasasından hatırlarsak:

E'=\cfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cfrac{2\lambda'}{b}.

Buna karşılık gelen kuvvetse F'=qE'

F'=-\cfrac{q\lambda_0uv_0}{\pi\varepsilon_0bc^2\sqrt{(1-u^2/c^2)(1-v_0^2/c^2)}}=-qv_0\cfrac{\mu_0}{4\pi}\cfrac{4\lambda_0u}{b\sqrt{1-u^2/c^2}}\cfrac{1}{\sqrt{1-v_0^2/c^2}}

Artık yukarıdaki (1) denklemine dönebiliriz. Son ifadeyle (1) arasında gerçekten de (2) denklemindeki ilişki sözkonusudur. Hedefe nihayet vardık.

Sonuç olarak, manyetik kuvvetle elektrostatik kuvvet arasındaki doğrudan ilişkiyi göstermiş olduk. Bunun için yükün değişmezliğini ve Lorentz boy kısalmasını birleştirdik, o kadar.

Standart elektrik ve manyetizma derslerinde işlenmeyen bu problemi sunmak istedim. Umarım faydalı olur.

Yorum bırakın